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2013年5月8日至10日,四川大学数学学院张旭教授到天津大学应用数学中心访问
来源:天津大学应用数学中心 发布时间:2013-05-19  
                              

2013年5月8日至10日,国家杰出青年基金获得者、2010年国际数学家大会45分钟报告人、四川大学数学学院张旭教授到天津大学应用数学中心访问,并于5月9日下午在二层学术报告厅作了题为“强耦合二阶椭圆型方程组的弱极值原理”(与东北师范大学柳絮博士合作)的学术报告。报告会由黄正海教授主持,陈永川教授、荣喜民教授参加了报告会。

黄正海教授首先对张旭教授作了简要介绍。张旭教授在数学领域作出了杰出贡献。他给出了能观性估计的直接方法及其在半线性分布参数系统能控性中的若干应用;在“随机与确定性抛物型”及“双曲型方程的能控性问题”的统一处理方面取得了实质性进展,部分解决了正向随机抛物型方程的能控性问题,罗马尼亚科学院院士V. Barbu等曾专门著文分析其困难性;发现了偏微分方程解的整体唯一延拓性质的一个奇异现象,并给出了某些偏微分方程解的整体唯一延拓性质及其在控制论中的应用。他的成果得到美国《数学评论》、德国《数学文摘》和同行的高度评价。他曾独立获教育部自然科学一等奖、中国控制会议“关肇直奖”、全国优秀博士后和全国优秀博士学位论文等学术奖励或称号,还曾获四川省科技进步一等奖、法国庞加莱研究所主办的国际著名期刊《Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire》2008年度最佳论文奖等。张旭教授还入选中国科学院“百人计划”、“新世纪百千万人才工程”国家级人选、教育部首届“新世纪优秀人才支持计划”、及日本学术振兴会(JSPS)外籍特别研究员”等。

接下来,张旭教授首先对其所从事的控制论方向的研究作了背景介绍。控制论是美国数学家维纳(N. Wiener)在上世纪40年代创立的。数学控制论,或者说现代控制论,是庞特里亚金(L.S. Pontryagin)、贝尔曼(R. Bellman)、卡尔曼(R.E. Kalman)等在上世纪60年代引入的。数学控制论大体可以分为有限维系统控制理论、无限维系统控制理论、随机系统控制理论三个部分。有限维系统控制理论研究的是状态方程为常微分方程的情况,已经比较成熟;无限维系统控制理论主要研究由偏微分方程支配的系统,随机系统控制理论主要研究随机微分方程控制描述的系统,这两个方向有很多成果,但还不能说是很成熟的学科。比如无限维系统控制理论(尤其是能控性理论)研究得比较多的是单个方程或者二阶偏微分方程所描述的系统,一到方程组或者高阶方程,即便是方程本身性质的研究都还有很多困难(更甭说相应控制问题的研究了)。上世纪70年代,华罗庚先生与中山大学的吴兹潜、林伟写了一本书《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》。为什么华罗庚先生等要研究这类问题?原因就在于到了方程组的时候,从纯方程的角度研究常系数线性问题都是非常困难的。

张旭教授还介绍到:“控制论本质上是应用数学,但不只是数学的应用。控制论有些问题的解决需要新的思路和新的方法,甚至需要引入新的数学工具。例如J.-M. Bismut、彭实戈院士等开创的倒向随机微分方程,就是为了研究随机系统最优控制理论而引入的新的数学工具。”

张旭教授接着从非常初等的例子出发,详细阐明了本次学术报告中所研究的问题:“直线上的最小值和最大值都在边界处取到;开口向上的抛物线,其最小值可以在区间内部取到,但最大值只在边界取到;对于开口向下的抛物线,其最小值在边界处取到。考察这些图形的方程,对于其二阶导数,直线实际上对应;开口向上的抛物线对应;开口向下的抛物线对应。这三种情况有一个重要特点,就是最大值或最小值都在边界处取到。那么如果不是一个常量,而是一个函数,相应的性质又会是什么样的呢?

考虑二阶椭圆方程:


其中区域有界,其边界光滑,是一个一致正定矩阵。此时成立强极值原理,即:如果是连续可微的,是连续的,是二阶连续可导的,那么当右端项是小于等于0 的,的最大值在边界取到;当右端项是大于等于0 的,的最小值在边界取到。其证明非常简单,用微积分就可以了。这里有两点很重要:一是的恰当的符号,二是系数、未知函数的光滑性。有了这两点,我们就可以得到强极值原理。如果变号或数据不是充分光滑的,则只有弱极值原理,即虽然的最大值和最小值不一定在边界取到,但是它的绝对值的上界能够被边界函数和右端项所估计。在很多应用,如控制论中,我们用弱极值原理就够了。”

张旭教授还讲到对于这个问题的研究源于变分法。变分法起源于牛顿时代,与数学上很多著名问题相关,尤其是与 D. Hilbert 的第19和20问题有关,即对一个变分问题,什么时候最小解是存在的,什么时候解是解析的?Hilbert本人对变分法非常感兴趣,他的23个问题中有3个都跟变分法有关。Hilbert于1900年提出这些问题后,S. Bernstein就于1904年很快做出了突破。他证明了:对于单个的非线性、系数解析的椭圆方程,如果有三次连续可微的解,那么这个解一定是解析的。之后,两维的情况由C. Morrey (1943)彻底解决。而关于高维的情况,由E. De Giorgi和诺贝尔经济学奖获得者J. Nash分别在1957年和1958年解决。Wolf奖得主J. Moser后来把他们的方法提炼出来,就是De Giorgi-Nash-Moser方法。De Giorgi-Nash-Moser方法最关键的地方在于建立了单个方程的弱极值原理。他们证明了这样的事实,如果方程(1)的弱解在边界上有界,那么在整个区域上也有界。这个结论非常简单,却很重要。这是偏微分方程学科中公认的重大进展之一。对于方程组,很自然地,人们期望单个方程的结果和De Giorgi-Nash-Moser方法能推广到方程组中。而过了10年,在1968年,De Giorgi本人给出了一个让人惊讶的反例,对于一个3×3的方程组,如果不加条件,这个弱解可能就是无界的。

由此,张旭教授讲到:他们的工作,就是希望在一定条件下,给出一类二阶线性的椭圆组的弱极值原理。当然,这必须附加一些条件。这方面最早的工作是O.A. Ladyzhenskaya等在1968年的一本书里面,对一类很特殊的方程组(它们的主算子是完全一样的且是不耦合的,耦合只出现在低阶项上),证明了相应的弱极值原理。后来,对弱耦合组,或者是几乎可以对角化的方程组,在Campanato空间里,S. Campanato (1987)、P. Cannarsa (1981)、S. Leonardi (2004)等证明了相应的弱极值原理。

之后,张旭教授介绍了他们的结果以及证明梗概:“和单个方程类似,我们取通常的Sobolev空间作为工作空间,最主要的目的是希望得到一个强耦合椭圆组的弱极值原理。

现在来看看我们的主要结果。我们的方程

是一个具有物理背景的方程,其中都是未知的,一致正定,每个元素是一个纯量函数。我们首先给出这个方程组弱解的定义。和单个方程类似,我们称是这个方程组的弱解,如果,且任取一个测试函数,都有

弱解的存在性实际上跟单个方程没有本质的不一样。现在为了讨论它的有界性,需要加一个条件,记矩阵是矩阵A第行第列的余子式。因为A是正定矩阵,因此矩阵的行列式是不等于零的。

我们的主要结果是,假定就是指本身及其导数都本性有界的函数全体构成的Sobolev空间。有这个条件当然不好,但是很遗憾的是,我们做了很大努力,还是去不掉这个条件。在这个条件下,我们证明了方程组(2)的弱解是本性有界的,也就是除一个零测集以外,它是有界的。这也是据我们所知,关于强耦合椭圆组弱极值原理的第一个结果。

需要强调的是,这个方程组最本质的地方是它是强耦合的,就是说最高阶导数是耦合在一起。这就导致在做先验估计的时候,一分部积分,它的高阶项就缠在一起,分不清哪一项是好的,哪一项是坏的,这是最主要的困难。因此在证明中,最关键的就是要恰当选取带权的测试函数,使得估计中那些不好的或者不需要的项有一个好的符号,或至少影响很小甚至消失。实际上偏微分方程里面的不少先验估计,主要困难就是如何选取测试函数。”

张旭教授最后还讲到了以下几个公开问题:

(1)是一个技术条件,猜测它可能是不需要的;

(2)现在考虑的只是各向同性的,也就是说是个数,而一般的情况是是个矩阵,这是各向异性的情况。当然,从物理角度来说,大自然的物质大部分还是各向同性的,而各向异性的物质实际上很多都是人工合成的。所以从物理角度来说,实际上各向同性已经是差不多了。但从数学的角度讲,当然是越一般化的条件越好。很遗憾的是,由于De Giorgi的反例,对于一般情形,也就是各向异性的话,是有反例的,就是说弱极值原理肯定是不对的。那么在这样的情况下,如何加一个好的条件,使得弱极值原理成立,这是一个很不平凡的问题。

(3)我们文章做的是弱极值原理,那么相应的强极值原理会是什么样的?关于这个问题,我们文章里没研究。但实际上那是一个很有意义的问题。困难的是,对于向量值函数,怎么叫做达到最大值或最小值,也就是如何去定义序关系。当定义了序关系以后,还要证明在边界能够取到最大值,这也是有难度的问题。

(4)我们这里只考虑了椭圆组,抛物组的情况又是怎么样的呢?对单个方程来说,椭圆或者抛物,弱极值原理的证明没什么本质差别。但如果是方程组,就遇到麻烦了。我们想用类似的方法对抛物组做出一个结论,但费了很大的功夫,发现取权函数时,考虑了时间的因素,空间就出问题了,反之考虑了空间的因素,时间就出问题了。

报告结束后,在座师生与张旭教授进行了积极交流,并对报告中权函数的选取、非线性问题的弱极值原理等进行了深入讨论。

陈永川教授最后讲到:“今天听完张旭教授的报告,看到他做出这么好的成果,引起了我的一些感触。

有位同志在强调自己单位引进国外人才政策的时候,有一个自然的假设,那就是国外的人才一定比国内培养的人才优秀。不可否认,国外的整体水平比我们高,国外的优秀人才比国内多。能够引进优秀的人才,我们何乐而不为?我们强调引进人才,有一个潜在的假设,那就是人才是可以买到的。如果是这样,中国的足球早上去了。就像人们常说的感情是买不到的,能买到的不一定是感情。如果什么都可以买,什么都可以卖,那什么事都好办了。

这位同志说:‘你不就是从MIT回来的吗?要是在川大,能有今天吗?’我自然不能反驳,只能无语,因为我没有理由做假设。但是我很清楚:国内培养的人才中比我有成就的大有人在。我当时就想反问:‘你不也是从国外回来的吗?你又有多大的成就?’但这句话太纯真了,所以不能说。这里我想说的是,我们必须有志气。川大的校友、复旦的博士不是一样能在国际数学家大会上做报告吗?国内培养的学生为什么就不行?陈景润不就是国内培养出来的吗?中国没有引进马克思,马克思主义不也在中国发扬光大了吗?当然这样讲在时间上算是有些穿越。你去革命老区看看,要不是本地人,能够引进那么多人去长征吗?我并不是说我们应该固步自封、做井底之蛙,并不是不承认别人比我们强。不同等重视我们自己培养的人才,无异于父母嫌弃自己生养的孩子。我只是说我们应该自尊自强、奋发图强。中国一定能涌现出越来越多的国际一流人才。

张旭教授讲到寻找测试函数。这使我想起有位物理学家曾经跟我说,谁会关心证明呢?发现比证明更重要。这句话有些极端,但也有一定道理。但是证明和推导对数学来讲也是至关重要。我的学生曾问我:‘数学不就是由这个公式推那个公式的,全是推来推去’。我说:‘推来推去也不简单,乒乓球不就推来推去吗?有那么好推吗?’发现和推导都很重要。

还有,我看过中国日报的一篇文章,有一句话:‘If you look at what has happened, I think it is too late(如果你只看到已经发生的事,我认为已经为时晚矣)’。对做研究也是一样,我们不能总模仿别人、跟着别人走。我们不仅要看已经发生的事,也要看正在发生的事,还要想到将要发生的事。

前不久,汪更生教授在做报告时曾感慨,国内培养出了一些很优秀的人才,真是后生可畏。我希望张旭教授的成长经历能够给同学们带来激励,让同学们看到希望。”

最后,大家用热烈的掌声感谢张旭教授的精彩报告,感谢陈永川教授的鼓励。正如黄正海教授最后讲到的,只要我们善于学习、善于思考、善于发现,真正地、好好地去做事情,即使在国内,也一定能成才!