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南京大学数学系何炳生教授作系列学术讲座——凸优化和单调变分不等式的收缩算法统一框架与应用
来源:天津大学应用数学中心 发布时间:2013-05-08  
                  

2013年4月24日至28日,南京大学数学系何炳生教授应邀到天津大学应用数学中心访问,并于4月24日至27日在第26教学楼B座413作了关于“凸优化收缩算法的简单统一与应用”系列讲座。天津大学应用数学中心的教师和学生,以及天津大学数学系、南开大学数学科学学院的部分师生聆听了此次讲座。

何炳生教授是凸优化和变分不等式领域的著名专家。他的讲座深入浅出、引人入胜。他不是从深奥的理论开始,而是先向同学们讲述了他对数学的一些看法。“数学之美,不是纯数学的专利。为应用服务的最优化方法研究,同样可以追求简单与统一。简单,他人才会拿来使用;统一,自己才有美的享受。是因为发现了其中的数学之美,研究才变得充满激情和欲罢不能。”

何炳生教授精彩的开场白深深吸引了大家。之后,何炳生教授开始讲解他在凸优化和单调变分不等式的收缩算法方面的研究。变分不等式是一类重要的平衡优化问题,与数学规划、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等多方面密切相关,在最优化方法、博弈论、最优控制、现代经济理论和管理科学等领域有着广泛地应用;而收缩方法是指具有收缩特征的算法,是求解变分不等式问题的一类有效方法。近年来,由于实际问题的复杂性和大规模性,求解大规模优化问题的一阶算法成为国际优化领域和相关应用领域的研究热点。

何炳生教授的课题组对三类目前最受关注的凸优化问题,用具有良好性态的变分不等式统一刻画它们的最优性条件,利用变分不等式的分析技巧研究了一系列快速算法并应用于图像恢复等应用领域,他们的研究工作得到了国内外学者的广泛关注和高度重视。

何炳生教授此次系列讲座共有四次报告。主要内容是在变分不等式的统一框架下研究快速有效的一阶收缩算法,并始终追求简明统一的原则。

在第一次报告中,何老师介绍了“凸优化和与之对应的混合单调变分不等式”,利用凸优化的最优性条件,给出了一个统一变分不等式模型作为几类目前最受关注的凸优化问题的统一表达形式,为后面研究这些问题的求解方法奠定了基础。在这一讲中,何老师还介绍了如何在变分不等式的框架下对“线性约束凸优化问题”构造简单易行的邻近点算法(PPA),并报告了这个方法在“寻找最近相关矩阵”、“矩阵完整化”等问题的求解上展示出的不俗数值计算结果。

在第二次报告中,何老师先带领我们简单回顾了PPA,接着引出了用于求解约束优化问题的著名的增广拉格朗日法(Augmented Lagrangian Method, ALM),然后在此基础上介绍了目前在国际上研究很热的一类快速有效的一阶算法——交替方向法(Alternating direction method of multipliers, ADMM)。本着“化复杂为简单”的思想,ADDM将含有两个可分离目标的线性约束凸优化问题,通过交替求解两个单变量优化问题并校正乘子,降低了子问题的求解难度,又得到了令人满意的收敛结果。ADMM 近年逐渐被认为是求解大规模实际问题的核心算法之一。何老师在变分不等式的框架下,从 PPA、ALM、再到 ADMM (交替方向法)的收敛性证明,形式特别简单,听众容易理解。此外,何老师还介绍了ADMM 的一些应用实例。

第三次报告中,为了讲解如何提高和改进 ADMM,何老师先给出了凸优化问题在变分不等式意义下收缩算法的统一框架。这个看似简单,实为精心的设计框架,使得他后面讲解的 PPA意义下的 ADMM,以及含两次乘子校正的 ADMM,算法设计和收敛性证明都变得相当自然和便利,体现了何教授所追求的简明统一的原则,也使同学们深受鼓舞。

在第四次报告中,何教授介绍了“三个可分离目标凸规划问题的交替方向法”。看似“由少到多”的量的变化,但直接延伸两个可分离目标的ADMM算法到三个可分离目标时,在收敛性的证明上出现很大的困难,何老师为我们分析了难度所在。这一算法有很好的数值计算结果,但其收敛性至今还没有证明。面对这一悬而未决的公开问题,何老师潜心研究了半年未能攻克。然而,何教授基于“分配补偿”的思想,给出了一个求解三个可分离目标凸规划的变形的交替方向法,取得了很好的计算效果,特别,利用之前的统一框架,他巧妙地给出了算法的收敛性证明。在这次报告中,何老师结合自己的研究经历为大家讲述了他的最新成果,使得同学们在获取知识的同时受到很多启发。

何老师随身携带推导演算用的草稿,每堂课都娴熟地为我们讲解精心准备的内容。此外,他还特别注重和同学们之间的互动,以使授课达到最佳效果。何老师和蔼可亲,耐心细致的讲解以及对问题的精辟分析给我们留下了深刻印象。何老师在讲课过程中,特别注重介绍他在研究中的原始想法和考虑问题的思路,为大家今后的研究提供了宝贵经验。此次讲座在大家的热烈掌声和衷心感谢中结束。


附:何炳生教授简介

何炳生教授,南京大学数学系77级计算数学本科毕业,后公派去德国留学,获得Wuerzburg大学博士学位后于87年开始在南京大学数学系工作。1997年晋升为教授,1998年评为博士生导师。江苏省有突出贡献的中青年专家。独立获得江苏省科技进步一等奖,并享受国务院特殊津贴。长期从事数值最优化方法的研究工作。在凸优化与单调变分不等式的收缩算法、线性约束凸优化问题的邻近点算法和交替方向方法、以及这些算法的应用方面取得一系列被学术界广泛引用的重要成果。主要论文发表在Mathematical Programming、Numerische Mathematik、SIAM Journal on Optimization、SIAM Journal on Numerical Analysis、SIAM Journal on Imaging Sciences等权威专业期刊上。已有多篇论文被提供SCI数据库的美国ISI公司确认为“高影响力论文”。